Matematika Sebagai Ilmu Dedukatif

Penalaran Induktif dan Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun dedmikian untuk membantu pemikiran, pada tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.

Berikut adalah beberapa contoh pembuktian dalil atau generalisasi pada
matematika. Dalil atau generalisasi berikut dibenarkan dalam matematika karena sudah
dapat dibuktikan secara deduktif.

Contoh 1
Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil sama dengann bilangan genap.
Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan ganjil, baik ganjil positif, atau ganjil negatif
yaitu 1, 3, -5, 7.

 


Dari tabel di atas, terlihat bahwa untuk setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan
hasilnya selalu genap. Dalam matematika hasil di atas belum dianggap sebagai suatu
generalisasi,walaupun anak membuat contoh-contoh dengan bilangan yang lebih banyak
lagi. Pembuktian dengan cara induktif ini harus dibuktikan lagi dengan cara deduktif.
Pembuktian secara deduktif sebagai berikut :
Misalkan : a dan b adalah sembarang bilangan bulat, maka 2a bilangan genap dan 2b
bilangan genap genap, maka 2a +1 bilangna ganjil dan 2b + 1 bilangan ganjil.
Jika dijumlahkan :
(2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2
                                = 2 (a + b + 1)
Karena a dan b bilangan bulat maka (a + b + 1) juga bilangan bulat, sehingga
2 (a + b +1) adalah bilangan genap.

Jadi bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil sama dengan bilangan genap (generalisasi)


Contoh 2
Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180 derajat.
Misalnya siswa mengukur ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 180 derajat. Walaupun proses pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga- segitiga yang lain dan hasilnya selalu sama dengan 180derajat, tetap kita tidak dapat menyimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180 derajat, sebelum membuktikan secara deduktif.

Pembuktian secara deduktif sebagai berikut :

Garis a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk ∠ 1 , ∠ 2 ,
∠ 3 , ∠ 4 ,∠ 5.
∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180 derajat (membentuk sudut lurus)
∠1 = ∠4                                    (sudut-sudut bersebrangan dalam)
∠3 = ∠5                                   (sudut-sudut bersebrangan dalam)

Maka : ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180 derajat

Karena ∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5
merupakan Jumlah dari ketiga buah sudut pada sebuah segitiga,
maka dapat disimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180 derajat.